Gäller för: HT25

Storseminarium 2.3 - En sak i taget

Innan seminariet ska du ha gått igenom Inför seminariet nedan och gjort tillhörande quiz. Syftet med detta är att du ska bekanta dig med innehållet så eventuella frågor kan redas ut under seminariet.

Denna sida visar en del av det som kommer att diskuteras på seminariet. Det kan hända att handledarna också tar upp andra uppgifter som inte behöver något specifikt studiematerial och då syns dessa uppgifter inte på sidan.

Inför seminariet

Förberedelsematerial

Venn-diagram

Låt $A$, $B$ och $C$ vara delmängder till ett universum $U$. Illustrera följande mängder med Venn-diagram:

a) $B \setminus C$

b) $C \cup B$

c) $A \cap (B \setminus C)$

d) $(A \setminus B) \cup (B \setminus C)$

Mängduttryck

Givet mängderna

$ \begin{align*} M_1 &= \{Baddeley, Turing, Berm\acute{u}dez\},\\ M_2 &= \{Turing, Chomsky\}, \\ M_3 &= \{Turing, Fodor, Churchland, Dennett\} \text{ och} \\ M_4 &= \{Baddeley, Chomsky, Churchland, Searle\} \end{align*} $

M_1 = {'Baddeley', 'Turing', 'Bermudez'}
M_2 = {'Turing', 'Chomsky'}
M_3 = {'Turing', 'Fodor', 'Churchland', 'Dennett'}
M_4 = {'Baddeley', 'Chomsky', 'Churchland', 'Searle'}

Räkna ut nedanstående för hand och i Python:

a) $M_1 \cap (M_2 \cup M_3)$

$M_1 \cap (M_2 \cup M_3) = \{Turing\}$

>>> M_1 & (M_2 | M_3)
{'Turing'}

b) $(M_1 \cap M_2) \cup M_3$

$(M_1 \cap M_2) \cup M_3 = \{Turing, Fodor, Churchland, Dennett\}$

>>> (M_1 & M_2) | M_3
{'Dennett', 'Turing', 'Churchland', 'Fodor'}

c) $(M_1 \cup M_3) \setminus (M_2 \cup M_4)$

$(M_1 \cup M_3) \setminus (M_2 \cup M_4) = \{Berm\acute{u}dez, Fodor, Dennett\}$

>>> (M_1 | M_3) - (M_2 | M_4)
{'Dennett', 'Bermudez', 'Fodor'}

d) $(M_1 \setminus M_2) \cup (M_3 \setminus M_4)$

$(M_1 \setminus M_2) \cup (M_3 \setminus M_4) = \{Baddeley, Berm\acute{u}dez, Turing, Fodor, Dennett\}$

>>> (M_1 - M_2) | (M_3 - M_4)
{'Dennett', 'Turing', 'Bermudez', 'Baddeley', 'Fodor'}

Delmängder och medlemskap

Vilka mängder är delmängder till $A = \{1, 2, \{5, 8\}\}$? Varför? Diskutera. Kontrollera i Python.

A = {1, 2, frozenset({5, 8})}

Notera att vi måste använda frozenset för att kunna ha en mängd i en annan mängd i Python. Detta beror på hur Python lagrar mängder men det lämnar vi därhän för tillfället.

a) $\{2, 5\}$

$\{2, 5\} \not\subseteq A$. Dvs. $\{2, 5\}$ är inte en delmängd till $A$. Talet 2 ingår i $A$ men inte talet 5.

Talet 5 ingår dock i $\{5, 8\}$ som i sin tur ingår i $A$. Det är dock inte samma sak som att 5 ingår i $A$. När vi pratar om en mängds medlemmar (eller element) så talar vi bara om de som ingår direkt i mängden, inte medlemmar (eller element) som ingår i eventuella mängder som själva är element i mängden.

>>> {2, 5} <= {1, 2, frozenset({5, 8})}
False

b) $\emptyset$

$\emptyset \subseteq A$. Dvs. tomma mängden är en delmängd till $A$. Tomma mängden är en delmängd till alla mängder.

Vi kan tänka på en delmängd av en mängd $M$ som en mängd som kan skapas genom att ta bort något antal element från $M$. Om vi tar bort alla element från $M$ så har vi bara $\emptyset$ kvar, alltså är $\emptyset$ en delmängd av alla mängder.

>>> set() <= {1, 2, frozenset({5, 8})}
True

Kom ihåg att vi inte kan använda {} för att skapa en tom mängd i Python. Vi måste använda set().

c) $\{\{5, 8\}\}$

$\{\{5, 8\}\} \subseteq A$. Dvs. $\{\{5, 8\}\}$ är en delmängd till $A$. Eftersom elementet $\{5, 8\}$ ingår i $A$ så är mängden som bara innehåller $\{5, 8\}$, dvs. $\{\{5, 8\}\}$, en delmängd till $A$.

>>> {frozenset({5, 8})} <= {1, 2, frozenset({5, 8})}
True

d) $\{5, 8\}$

$\{5, 8\} \not\subseteq A$. Dvs. $\{5, 8\}$ är inte en delmängd till $A$. Om $\{5, 8\}$ skulle vara en delmängd till $A$ så skulle också $1$ vara en delmängd till $A$, och $1$ är ju inte en mängd över huvud taget. Kom ihåg att vi skapar en delmängd av en mängd $M$ genom att ta bort något antal element från $M$. Det finns inget antal element vi kan ta bort från $A$ för att få mängden $\{5, 8\}$. Vi kan få mängden $\{\{5, 8\}\}$ genom att ta bort $1$ och $2$ från $1$, men det är inte samma sak.

>>> {5, 8} <= {1, 2, frozenset({5, 8})}
False

Vilka uttryck är sanna givet $A = \{x, y, \{x, z\}\}$? Varför? Diskutera. Kontrollera i Python.

A = {'x', 'y', frozenset({'x', 'z'})}

a) $x \subseteq A$

Falskt. Symbolen $x$ är ett element i $A$ men inte en delmängd av $A$.

>>> 'x' <= {'x', 'y', frozenset({'x', 'z'})}
  ...
TypeError: '<=' not supported between instances of 'str' and 'set'

b) $\{x\} \subseteq A$

Sant. Om vi tar bort $y$ och $\{x, z\}$ från $A$ så har vi $\{x\}$ kvar.

>>> {'x'} <= {'x', 'y', frozenset({'x', 'z'})}
True

c) $\{x, y\} \in A$

Falskt. Mängden $\{x, y\}$ är en delmängd av $A$ men inte ett element i $A$.

>>> {'x', 'y'} in {'x', 'y', frozenset({'x', 'z'})}
False

d) $\{x, z\} \in A$

Sant. De tre elementen i $A$ är $x$, $y$ och $\{x, z\}

>>> {'x', 'z'} in {'x', 'y', frozenset({'x', 'z'})}
True

Kardinalitet

Givet $A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$, $B = \{b, c\}$, $C = \{1, 2, 3, a, b, c\}$. Beräkna följande kardinaliteter för hand och i Python.

A = {2, 4, 6, 8, 10}
B = {'b', 'c'}
C = {1, 2, 3, 'a', 'b', 'c'}

a) $| A |$

$| A | = | \{2, 4, 6, 8, 10\} | = 5$

>>> len(A)
5

b) $| A \setminus B |$

b) $| A \setminus B | = 5$. Eftersom $A \cap B$ är tom så är $A \setminus B = A = \{2, 4, 6, 8, 10\}$.

>>> len(A - B)
5

c) $| (A \cup B) \setminus C |$

$| (A \cup B) \setminus C | = 4$. Eftersom $ (A \cup B) \setminus C = \\ (\{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{b, c\}) \setminus \{1, 2, 3, a, b, c\} = \\ \{2, 4, 6, 8, 10, b, c\} \setminus \{1, 2, 3, a, b, c\} = \\ \{4, 6, 8, 10\} $

>>> len((A | B) - C)
4

d) $| B \cap C |$

$| B \cap C | = 2$. Eftersom $B \subseteq C$ så är $B \cap C = B = \{b, c\}$.

>>> len(B & C)
2