1a)
((A -> B) -> C) <-> A & B -> C

A | A -> A
-----------
S | S S  S
F | F S  F
tautologi (och satisfierbar)

1b)
A B | -A | B <-> A -> B
------------------------
S S | F  S S  S  S S  S
S F | F  F F  S  S F  F
F S | S  S S  S  F S  S
F F | S  S F  S  F S  F
tautologi (och satisfierbar)

1d)
A B C | (A -> (B -> C)) <-> A & (B & -C)
-----------------------------------------
S S S |  S S   S S  S    F  S F  S F F
S S F |  S F   S F  F    F  S S  S S S 
S F S |  S S   F S  S    F  S F  F F F 
S F F |  S S   F S  F    F  S F  F F S 
F S S |  F S   S S  S    F  F F  S F F 
F S F |  F S   S F  F    F  F F  S S S 
F F S |  F S   F S  S    F  F F  F F F 
F F F |  F S   F S  F    F  F F  F F S 
motsägelse

2a)
1  A -> B    P
2  B -> C    P
3  o- A      P
4  |  B      1,3 (->E)
5  |  C      2,4 (->E)
   o---
6  A -> C    3-5 (->I)

2b)
1  -A | -B              P
2  o- A & B             P
3  |  o- -A             P
4  |  |  A              2 (&E)
5  |  |  false          3,4 (false I)
   |  o---
6  |  -A -> false       3-5 (->I)
7  |  o- -B             P
8  |  |  B              2 (&E)
9  |  |  false          7,8 (false I)
   |  o---
10 |  -B -> false       7-9 (->I)
11 |  false             1,6,10 (|E)
   o---
12 -(A & B)             2-11 (-I)

2c)
1  o- A & B             P
2  |  A                 1 (&E)
3  |  B                 1 (&E)
4  |  B & A             2,3 (&I)
   o---
5  A & B -> B & A       1-4 (->I)
6  o- B & A             P
7  |  A                 6 (&E)
8  |  B                 6 (&E)
9  |  A & B             7,8 (&I)
   o---
10 B & A -> A & B       6-9 (->I)
11 A & B <-> B & A      5,10 (<->I)

3a)
Vatten kokar vid 100 grader
K(h2o,100)

Alla ämnen har en kokpunkt
Ax Ey K(x,y)

Det finns exakt en temperatur vid vilken vatten kokar
Ex (K(h2o,x) & Ay (K(h2o,y) -> x = y))

4a)
1  Ax P(x)           P
2  Ay (P(y) -> Q(y)) P
3  P(x)              1 (AE)
4  P(x) -> Q(x)      2 (AE)
5  Q(x)              3,4 (->E)
6  Ez Q(z)           5 (EI)

4b)
1  Ex (P(x) & Q(x))        P
2  Ay (Q(y) -> y = a)      P
3  o- P(x) & Q(x)          P
4  |  Q(x) -> x = a)       2 (AE)
5  |  Q(x)                 3 (&E)
6  |  x = a                4,5 (->E)
7  |  P(x)                 3 (&E)
8  |  P(a)                 6,7 (Subst)
   o---
9  P(a)                    1,3-8 (EE)

5a)
m = (M,V)
M = {a,b}
V(P) = {a}

5b)
m = (M,V)
M = {a,b}
V(P) = {<a,b>, <b,b>}

5c)
m = (M,V)
M = {a,b}
V(P) = {}
V(Q) = {a,b}

6a)
Formalisering:
Ex (R(x) & -L(x)), Ex (B(x) & -L(x)), R(t) & B(t) |- -L(t)
Men följande modell motbevisar resonemanget:
m = (M,V)
M = {t,a}
V(R) = {t,a}
V(B) = {t,a}
V(L) = {t}

6b)
Formalisering:
-Ex (R(x) & B(x) & -L(x)), Ax (R(x) -> B(x)), R(t) |- L(t)
Bevis:
1  -Ex (R(x) & B(x) & -L(x))    P
2  Ax (R(x) -> B(x))            P
3  R(t)                         P
4  R(t) -> B(t)                 2 (AE)
5  B(t)                         3,4 (->E)
6  o- -L(t)                     P
7  |  R(t) & B(t) & -L(t)       3,5,6 (&I)
8  |  Ex (R(x) & B(x) & -L(x))  7 (EI)
9  |  false                     1,8 (false I)
   o---
10 L(t)                         6-9 (-E)

7)
Att naturlig deduktion är "sunt" innebär att det bara går att bevisa
formler som faktiskt är logiska konsekvenser av premisserna. Att det
är "fullständigt" innebär att *alla* logiska konsekvenser av
premisserna går att bevisa.