1a)
A | A & -A -> A
---------------
S |   F F  S
F |   F S  S
tautologi (och satisfierbar)

1b)
A B | -(A | B) <-> -A | -B
--------------------------
S S | F   S     S  F  F F
S F | F   S     F  F  S S
F S | F   S     F  S  S F
F F | S   F     S  S  S S
satisfierbar

1d)
A B C | (A -> B) -> ((B -> C) -> (A -> C))
------------------------------------------
S S S |    S     S      S     S     S
S S F |    S     S      F     S     F 
S F S |    F     S      S     S     S 
S F F |    F     S      S     F     F 
F S S |    S     S      S     S     S 
F S F |    S     S      F     S     S 
F F S |    S     S      S     S     S 
F F F |    S     S      S     S     S 
tautologi

2a)
1  o- A & -A    P
2  |  A         1 (&E)
3  |  -A        1 (&E)
4  |  false     2,3 (false I)
   o---
5  -(A & -A)    1-4 (-I)

2b)
1  A            P
2  B -> C       P
3  B | -A       P
4  o- -A        P
5  |  o- -C     P
6  |  |  false  1,4 (false I)
   |  o---
7  |  C         5-6 (-E)
   o---
8  -A -> C      4-7 (->I)
9  C            2,3,8 (|E)

2c)
1  (A | B) -> C P
2  -C           P
3  o- A         P
4  |  A | B     3 (|I)
5  |  C         1,4 (->E)
6  |  false     2,5 (false I)
   o---
7  -A           3-6 (-I)
8  o- B         P
9  |  A | B     8 (|I)
10 |  C         1,9 (->E)
11 |  false     2,10 (false I)
   o---
12 -B           8-11 (-I)
13 -A & -B      7,12 (&I)

3a)
Inget primtal är delbart med 4
-Ex (P(x) & D(x,4))

3b)
Alla primtal är delbara med sig själva
Ax (P(x) -> D(x,x))

3c)
Det finns exakt ett jämnt primtal
Ex (J(x) & P(x) & Ay (J(y) & P(y) -> x = y))

4a)
1  Ax (P(x) -> Q(x))    P
2  Ey P(y)              P
3  o- P(y)              P
4  |  P(y) -> Q(y)      1 (AE)
5  |  Q(y)              3,4 (->E)
6  |  Ez Q(z)           5 (EI)
   o---
7  Ez Q(z)              2,3-6 (EE)

4b)
1  -Ex P(x,x)           P
2  P(a,b)               P
3  o- a = b             P
4  |  P(a,a)            2,3 (Subst)
5  |  Ex P(x,x)         4 (EI)
6  |  false             1,5 (false I)
   o---
7  -(a = b)             3-6 (-I)

5a)
m = (M,V)
M = {a,b}
V(P) = {<a,b>,<b,a>}

5b)
m = (M,V)
M = {a,b}
V(P) = {a,b}
V(Q) = {}

5c)
m = (M,V)
M = {a,b,c}
V(R) = {<a,b>,<b,c>,<a,c>,<c,c>}

6a)
Formalisering:
Ax (E(x) -> P(x)), Ax (S(x) -> -P(x)), -S(tom) |- E(tom)
Men följande modell motbevisar detta.
m = (M,V)
M = {tom}
V(E) = {}
V(P) = {}
V(S) = {}

6b)
Formalisering:
Ax (E(x) -> P(x)), Ax (P(x) -> -S(x)) |- S(tom) -> -E(tom)
Bevis:
1  Ax (E(x) -> P(x))        P
2  Ax (P(x) -> -S(x))       P
3  o- S(tom)                P
4  |  o- E(tom)             P
5  |  |  E(tom) -> P(tom)   1 (AE)
6  |  |  P(tom)             4,5 (->E)
7  |  |  P(tom) -> -S(tom)  2 (AE)
8  |  |  -S(tom)            6,7 (->E)
9  |  |  false              3,8 (false I)
   |  o---
10 |  -E(tom)               4-9 (-I)
   o---
11 S(tom) -> -E(tom)        3-10 (->I)

7)

Satslogiska formler har ett begränsat antal satsparametrar som kan
tolkas till sant eller falskt. Vi kan sammanställa alla möjliga
tolkningar i en tabell. Predikatlogiska formler innehåller relationer
och funktioner som kan tolkas på oändligt många sätt. En tabell skulle
missa möjliga tolkningar och därmed inte gå att använda för att
t.ex. undersöka logisk konsekvens.