Lektion 1
=========

2.3.1
b formel
c formel
d term
e formel
h ingetdera (implikation kan inte användas på termer)

3.1.1
a R          R: Det regnar
b T(l,g,o)   T(x,y,z): x åker tåg från y till z, l: Lisa, g: Göteborg, o: Oslo
c S(p,m)     S(x,y): x skäller på y, p: Pompe, m: Måns

3.2.6a
H(3) & H(5)  H(x): x är ett heltal

3.2.13e
S <-> B      S: vi seglar ut, B: det blåser

3.3.5
a Ex (R(x) & B(x))          R(x): x är röd, B(x): x är en bil
b Ax (B(x) -> R(x) | G(x))  G(x): x är grön
c -Ex (B(x) & Å(x))         Å(x): x är blå
d Ax (K(x) -> -G(o,x))      K(x): x är en katt, G(x,y): x gillar y, o: Olle

3.4.4
a ExEy T(x) & T(y) & x!=y & Az (T(z) -> z=x | z=y)  T(x): x är en tomte

3.5.1
b AxEy C(y,x)        C(x,y): x causes y
c ExAy C(x,y)
f Ax (F(x) -> D(x))  F(x): x är filosof, D(x): x är dödlig
g Ex (S(x) & -M(x))  S(x): x är en staty, M(x): x består av marmor

Lektion 2
=========

5.1.9a
M = {a}
T(P) = {a}

5.1.9b
M = {a}
T(P) = {a}
T(Q) = {a}

5.1.9c
M = {c}
T(P) = {}
T(Q) = {c}
T(R) = {c}

5.1.9d
M = {a}
T(P) = {a}
T(Q) = {}
T(R) = {}

5.1.10a
M = {a,b}
T(P) = {a}
T(Q) = {b}

5.1.10b
M = {a}
T(P) = {}
T(Q) = {a}

5.1.10c
M = {a,b}
T(P) = {a}
T(Q) = {}

5.1.10d
M = {a}
T(R) = {}
or
M = N
T(R) = >

Lektion 3
=========

6.2.5g
A B (A -> B) | (B -> A)
S S    S     S    S
S F    F     S    S
F S    S     S    F
F F    S     S    S
tautologi

6.2.5d
A B C A & (B | C) <-> (A | C) & (B | C)
S S S   S    S     S     S    S    S
S S F   S    S     S     S    S    S
S F S   S    S     S     S    S    S
S F F   F    F     S     S    F    F
F S S   F    S     F     S    S    S
F S F   F    S     S     F    F    S
F F S   F    S     F     S    S    S
F F F   F    F     S     F    F    F
kontingent

6.4.1b
{1} (1)  Ex P(x)  P
{2} (2)  P(a)     P
{2} (3)  Ey P(y)  EI 2
{1} (4)  Ey P(y)  EE 1,2,3

6.4.1c
{1}     (1)  Ax (P(x) -> Q(x) | R(x))  P
{2}     (2)  -Q(c)                     P
{3}     (3)  P(c)                      P
{1}     (4)  P(c) -> Q(c) | R(c)       AE 1
{1,2,3} (5)  R(c)                      T 1,2,3
{1,2}   (6)  P(c) -> R(c)              C 3,5

eller

{1}   (1)  Ax (P(x) -> Q(x) | R(x))  P
{2}   (2)  -Q(c)                     P
{1}   (3)  P(c) -> Q(c) | R(c)       AE 1
{1,2} (4)  P(c) -> R(c)              T 3

6.4.1d
{1} (1)  Ax (A & P(x))  P
{1} (2)  A & P(a)       AE 1
{1} (3)  P(a)           T 2
{1} (4)  Ax P(x)        AI 3

Lektion 4
=========

6.4.2d
Show Ax (P(x) & Q(x)) -> Ax P(x) & Ax Q(x)
Använd strategi C.
{1}  (1)  Ax (P(x) & Q(x))                       P
{1}  (2)  P(a) & Q(a)                            AE 1
{1}  (3)  P(a)                                   T 2
{1}  (4)  Q(a)                                   T 2
{1}  (5)  Ax P(x)                                AI 3
{1}  (6)  Ax Q(x)                                AI 4
{1}  (7)  Ax P(x) & Ax Q(x)                      T 5,6
{}   (8)  Ax (P(x) & Q(x)) -> Ax P(x) & Ax Q(x)  C 1,7

6.4.1e
{1}      (1)  Ax (P(x) | Q(x))    P
{2}      (2)  Ex -Q(x)            P
{3}      (3)  Ax (R(x) -> -P(x))  P
{4}      (4)  -Q(a)               P
{1}      (5)  P(a) | Q(a)         AE 1
{3}      (6)  R(a) -> -P(a)       AE 3
{1,3,4}  (7)  -R(a)               T 4,5,6
{1,3,4}  (8)  Ex -R(x)            EI 7
{1,2,3}  (9)  Ex -R(x)            EE 2,4,8

6.4.1f
{1}   (1)  Ex (A | P(x))  P
{2}   (2)  A | P(a)       P
{3}   (3)  -A             P
{2,3} (4)  P(a)           T 2,3
{2,3} (5)  Ex P(x)        EI 4
{2}   (6)  -A -> Ex P(x)  C 3,5
{2}   (7)  A | Ex P(x)    T 6
{1}   (8)  A | Ex P(x)    EE 1,2,7

6.4.2a
Show AxAy R(x,y) <-> AyAx R(x,y)
Använd strategi ekvivalens (<->).
{1}  (1)   AxAy R(x,y)                  P
{1}  (2)   Ay R(a,y)                    AE 1
{1}  (3)   R(a,b)                       AE 2
{1}  (4)   Ax R(x,b)                    AI 3
{1}  (5)   AyAx R(x,y)                  AI 4
{}   (6)   AxAy R(x,y) -> AyAx R(x,y)   C 1,5
{7}  (7)   AyAx R(x,y)                  P
{7}  (8)   Ax R(x,b)                    AE 7
{7}  (9)   R(a,b)                       AE 8
{7}  (10)  Ay R(a,y)                    AI 9
{7}  (11)  AxAy R(x,y)                  AI 10
{}   (12)  AyAx R(x,y) -> AxAy R(x,y)   C 7,11
{}   (13)  AxAy R(x,y) <-> AyAx R(x,y)  T 6,12

6.4.1i
{1} (1)   ExEy (R(x,y) | R(y,x))  P
{2} (2)   Ey (R(a,y) | R(y,a))    P
{3} (3)   R(a,b) | R(b,a)         P
{4} (4)   R(a,b)                  P
{4} (5)   Ey R(a,y)               EI 4
{4} (6)   ExEy R(x,y)             EI 5
{}  (7)   R(a,b) -> ExEy R(x,y)   C 4,6
{8} (8)   R(b,a)                  P
{8} (9)   Ey R(b,y)               EI 8
{8} (10)  ExEy R(x,y)             EI 9
{}  (11)  R(b,a) -> ExEy R(x,y)   C 8,10
{3} (12)  ExEy R(x,y)             T 3,7,11
{2} (13)  ExEy R(x,y)             EE 2,3,12
{1} (14)  ExEy R(x,y)             EE 1,2,13

Lektion 5
=========

6.4.3a
Show Ax P(x) & Ey Q(y) -> Ez (P(z) & Q(z))
{1}    (1)  Ax P(x) & Ey Q(y)                      P
{1}    (2)  Ax P(x)                                T 1
{1}    (3)  Ey Q(y)                                T 1
{4}    (4)  Q(a)                                   P
{1}    (5)  P(a)                                   AE 2
{1,4}  (6)  Q(a) & P(a)                            T 4,5
{1,4}  (7)  Ez (Q(z) & P(z))                       EI 6
{1}    (8)  Ez (Q(z) & P(z))                       EE 3,4,7
{}     (9)  Ax P(x) & Ey Q(y) -> Ez (P(z) & Q(z))  C 1,8

6.4.3b
Show Ax (P(x) | Q(x)) -> Ax P(x) | Ax Q(x)
Motexempel:
M = {a,b}
T(P) = {a}
T(Q) = {b}

6.4.3c
Show AxEy R(x,y) -> EyAx R(x,y)
Motexempel:
M = {a,b}
T(R) = {<a,a>,<b,b>}

6.4.3f
Show AxAy (x=y -> f(x)=f(y))
{1}  (1)  a=b                      P
{}   (2)  f(a)=f(a)                IdI
{1}  (3)  f(a)=f(b)                IdE 1,2
{}   (4)  a=b -> f(a)=f(b)         C 1,3
{}   (5)  Ay (a=y -> f(a)=f(y))    AI 4
{}   (6)  AxAy (x=y -> f(x)=f(y))  AI 5

6.4.3g
Show AxAyAz (x!=y & y!=z -> x!=z)
Motexempel:
M = {a,b}
a!=b & b!=a, but a=a

5.1.5
R = Det regnar
B = Det blåser
V = Humlorna vantrivs
   B R V   |   R | B -> V   |   R   |   V
--------------------------------------------
   S S S   |     S   S      |   S   |   S   <-- korrekt
   S S F   |     S   F      |   S   |   F
   S F S   |     S   S      |   F   |   S
   S F F   |     S   F      |   F   |   F
   F S S   |     S   S      |   S   |   S   <-- korrekt
   F S F   |     S   F      |   S   |   F
   F F S   |     F   S      |   F   |   S
   F F F   |     F   S      |   F   |   F

Exempel 1 sid 4
Ingen hund tycker om Måns. Pompe är en hund. |= Pompe tycker inte om Måns.
Show -Ex (H(x) & T(x,m)), H(p) |= -T(p,m)
{1}    (1) -Ex (H(x) & T(x,m))  P
{2}    (2) H(p)                 P
{1}    (3) Ax -(H(x) & T(x,m))  Q 1
{1}    (4) -(H(p) & T(p,m))     AE 3
{1,2}  (5) -T(p,m)              T 2,4

Exempel 2 sid 4
Någon hund tycker inte om Måns. Pompe är en hund. |= Pompe tycker inte om Måns.
Ex (H(x) & -T(x,m)), H(p) |= -T(p,m)
Motexempel:
M = {p,m,a}
T(H) = {p,m,a}
T(T) = {<p,m>}